已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标...

问题详情：

已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点在椭圆上．

(1)求椭圆的离心率；

(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率．

【回答】

解：(1)因为点P在椭圆上，故＋＝1，可得＝.

于是e2＝＝1－＝，

所以椭圆的离心率e＝.

(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx.设点Q的坐标为(x0，y0)．

由条件得

消去y0并整理得x＝.①

由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及y0＝kx0得，

(x0＋a)2＋k2x＝a2，

整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.

而x0≠0，故x0＝.

代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2·＋4.由(1)知＝，故(1＋k2)2＝k2＋4，

即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5.

所以直线OQ的斜率k＝±.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题