已知椭圆的短轴长为，且离心率为，圆．(1)求椭圆C的方程，(2)点P在圆D上，F为椭圆右焦点，线段PF与椭圆C...

问题详情：

已知椭圆的短轴长为，且离心率为，圆．

(1)求椭圆C的方程，

(2)点P在圆D上，F为椭圆右焦点，线段PF与椭圆C相交于Q，若，求的取值范围．

【回答】

【详解】（1）由题可知，又，解得

椭圆的方程为

（2）由（1）知圆，点坐标为

设，，由可得：，

所以，由可得：

又，代入，消去，整理成关于的等式为：

，则此方程在上必须有解

令

则，，

若，则（舍去）或

若，则（舍去）或

若在上有且仅有一实根

则由得：

若在上有两实根（包括两相等实根）

则解得：

综上可得：的取值范围是

【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、二次函数零点分布问题.解决此题的难点在于能够通过向量关系将问题转化为二次函数在特定区间内的根的个数的问题，即二次函数图象问题.讨论二次函数图象通常需讨论以下内容：开口方向、对称轴位置、判别式、区间端点值符号.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题