记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆，以椭圆的焦点为顶点作相似椭圆.(Ⅰ)求椭圆的方程...

问题详情：

记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆，以椭圆的焦点为顶点作相似椭圆.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点，且与椭圆仅有一个公共点，试判断的面积是否为定值(为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【回答】

【解析】

分析：(Ⅰ)由相似椭圆的定义可得，椭圆的离心率，由长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)，于是可得，从而可得椭圆的方程；(Ⅱ)设直线.

由得，，利用判别式为零可得，联立与，利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可得.

详解：(Ⅰ)由条件知，椭圆的离心率，且长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)，

∴椭圆的方程为.                      

(Ⅱ)当直线的斜率存在时，设直线.

由得，.

令得，.

联立与，化简得.

设A()，B()，则

∴，而原点O到直线的距离

∴.

当直线的斜率不存在时，或，则，原点O到直线的距离，

∴.

综上所述，的面积为定值6.                

点睛：本题主要考查椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及椭圆的切线，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再*这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题