已知椭圆的左、右焦点分别为、,圆经过椭圆的两个焦点和两个顶点,点在椭圆上,且,.(Ⅰ)求椭圆的方程和点的坐标;...
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问题详情:
已知椭圆的左、右焦点分别为、,圆经过椭圆的两个焦点和两个顶点,点在椭圆上,且,.
(Ⅰ)求椭圆的方程和点的坐标;
(Ⅱ)过点的直线与圆相交于、两点,过点与垂直的直线与椭圆相交于另一点,求的面积的取值范围.
【回答】
【解析】
分析:(I)由题意计算可得, , 则椭圆的方程为, 结合几何*质可得点P的坐标为.
(II)由题意可知直线l2的斜率存在,设l2的方程为,与椭圆方程联立可得, 由弦长公式可得; 结合几何关系和勾股定理可得, 则面积函数, 换元求解函数的值域可得△ABC的面积的取值范围是.
详解:(I)设,,
可知圆经过椭圆焦点和上下顶点,得,
由题意知,得,
由,得,
所以椭圆的方程为,
点P的坐标为.
(II)由过点P的直线l2与椭圆相交于两点,知直线l2的斜率存在,
设l2的方程为,由题意可知,
联立椭圆方程,得,
设,则,得,
所以;
由直线l1与l2垂直,可设l1的方程为,即
圆心到l1的距离,又圆的半径,
所以,
,
由即,得,
,
设,则,,
当且仅当即时,取“=”,
所以△ABC的面积的取值范围是.
点睛:(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系;
(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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