已知椭圆C:的离心率为,分别为椭圆的左、右顶点,点满足.(1)求椭圆的方程;(2)设直线经过点且与交于不同的两...
- 习题库
- 关注:2.03W次
问题详情:
已知椭圆C:的离心率为,分别为椭圆的左、右顶点,点满足.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线经过点且与交于不同的两点,试问:在x轴上是否存在点,使得直线与直线的斜率的和为定值?若存在,求出点的坐标及定值,若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)依题意,,P(2,-1),所以=(-a-2,1)·(a-2,1)=5-a2,(2分)
由=1,a>0,得a=2,因为e=,所以c=,b2=a2-c2=1,(4分)
故椭圆C的方程为.(5分)
(2)假设存在满足条件的点Q(t,0),当直线l与x轴垂直时,它与椭圆只有一个交点,不满足题意,
因此直线l的斜率k存在,设l:y+1=k(x-2),
由消y,得(1+4k2)x2-(16k2+8k)x+16k2+16k=0,(7分)
△=-64k>0,所以k<0,
设,则x1+x2=,x1x2=,
因为
===,(10分)
所以要使对任意满足条件的k,为定值,则只有t=2,此时=1.
故在x轴上存在点Q(2,0)使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值1.(12分)
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
- 文章版权属于文章作者所有,转载请注明 https://zhongwengu.com/exercises/6ewpnl.html