已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若，分别为椭圆的上，下顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于另...

问题详情：

已知椭圆的离心率为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，分别为椭圆的上，下顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于另一点（异于椭圆的右顶点），交轴于点，直线与直线相交于点.求*：直线的斜率为定值.

【回答】

（1）；（2）*见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据条件求出，即可写出椭圆方程；

（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆，可表示出坐标，继而得出直线的方程，令可得的坐标，即可求出直线的斜率并得出定值.

【详解】

（1）设椭圆的焦距为，则①，

②，又③，

由①②③解得，，，

所以椭圆的标准方程为.

（2）*：易得，，直线的方程为，因为直线不过点，所以，

由，得，

所以，从而，，

直线的斜率为，故直线的方程为.

令，得，

直线的斜率.

所以直线的斜率为定值.

【点睛】

本题考查椭圆的方程的求法，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题