已知椭圆的焦点是，，且，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点．（i）求的最小值...

问题详情：

已知椭圆的焦点是，，且，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点．

（i）求的最小值；

（ii）点是直线上异于的一点，且满足，求*：点在一条定直线上．

【回答】

（1）；（2）（i）最小值是；（ii）*见解析．

【分析】

（1）根据题中条件，求出，，即可得出椭圆方程；

（2）（i）先由（1）知，先讨论线的斜率不存在，求出；再讨论直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及两点间距离公式，求出，进而可得出结果；

（ii）先由题意得，直线的斜率一定存在，所以设点的坐标是，根据题中条件，得到，化简整理，求出，即可*结论成立.

【详解】

（1）因为椭圆的焦点是，，且，所以半焦距．

因为离心率为，所以，所以．

所以椭圆的方程是．

（2）（i）由（1）知，

当直线的斜率不存在时，不妨设，所以．

当直线的斜率存在时，直线的方程可设为．

联立方程消去，整理得．

所以，．

所以，．

所以

，

因为，

所以的取值范围是．

因为当直线的斜率不存在时，，

所以的最小值是．

（ii）*：由题意得，直线的斜率一定存在．因为点在直线上，所以设点的坐标是．

因为，

所以点一定在的延长线上，

所以，

即．

所以．

化简得．所以点的坐标是．

因此点在定直线上．

【点睛】

本题主要考查求椭圆的方程，考查椭圆中的定值问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单*质即可，属于常考题型.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题