设椭圆的左焦点为,上顶点为.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设点在椭圆上,且异于椭圆...
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问题详情:
设椭圆的左焦点为,上顶点为.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点为直线与轴的交点,点在轴的负半轴上.若(为原点),且,求直线的斜率.
【回答】
(Ⅰ)(Ⅱ)或.
【分析】
(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程,解方程可得椭圆方程;
(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标,从而可得OP的斜率,然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式,最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程,解方程可得直线的斜率.
【详解】
(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为,依题意,,又,可得,b=2,c=1.
所以,椭圆方程为.
(Ⅱ)由题意,设.设直线的斜率为,
又,则直线的方程为,与椭圆方程联立,
整理得,可得,
代入得,
进而直线的斜率,
在中,令,得.
由题意得,所以直线的斜率为.
由,得,
化简得,从而.
所以,直线的斜率为或.
【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程和几何*质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的*质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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