已知椭圆的离心率为,、分别为椭圆的左、右顶点,点满足.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线经过点且与交于不同的两点...
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问题详情:
已知椭圆的离心率为,、分别为椭圆的左、右顶点,
点满足.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线经过点且与交于不同的两点、,试问:在轴上是否存在点,使得直线 与直线的斜率的和为定值?若存在,请求出点的坐标及定值;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(Ⅰ)依题意,、,,
∴,………………………………………………2分
由,,得,∵,
∴,,………………………………………………………………4分
故椭圆的方程为. ……………………………………………………5分
(Ⅱ)假设存在满足条件的点. 当直线与轴垂直时,
它与椭圆只有一个交点,不满足题意. …………………………………………………6分
因此直线的斜率存在,设:,由,消得
, …………………………………………7分
设、,则,,
∵
, ………10分
∴要使对任意实数,为定值,则只有,此时,.
故在轴上存在点,使得直线与直线的斜率的和为定值.…………12分
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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