已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆的方程;(2)设,是椭圆上关于...
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已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆的方程;(2)设,是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点,连接交椭圆于另一点,*直线与轴相交于定点;(3)在(2)的条件下,过点的直线与椭圆交于两点,求的取值范围.
【回答】
解:(1)由题意知,所以,即.……1分
又因为以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切,
所以,所以. ……2分
故椭圆的方程为. ……2分
(2)由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为. ……3分
由得. ……4分
设点,,则,.……5分
依题意,直线的方程为.
令,得. ……6分
将,代入,整理得
.
所以直线与轴相交于定点. ……7分
(3)当过点直线的斜率存在时,设直线的方程为.……8分
由得,易知. ……9分
设,则,.
则.……10分
因为,所以,
所以. ……11分
当过点直线的斜率不存在时,其方程为.
解得或,此时.
所以的取值范围是
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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