中文谷已知中心在坐标原点、焦点在轴上椭圆的离心率，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.⑴求该椭圆的标准...
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问题详情：
已知中心在坐标原点、焦点在
轴上椭圆的离心率
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
⑴求该椭圆的标准方程；
⑵设椭圆的左，右焦点分别是
和
，直线
且与
轴垂直，动直线
轴垂直，
于点
，求线段
的垂直平分线与
的交点
的轨迹方程，并指明曲线类型.
【回答】
解： ⑴依题意设所求椭圆方程为
得：
①
又以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
即原点到直线
的距离为
，所以
代入①中得
所以，所求椭圆方程为
. ……6分
⑵由
得
、
点的坐标分别为
，
，
设
点的坐标为
，由题意：
点坐标为
，因为线段
的垂直平分线与
的交点为
，
所以
故线段
的垂直平分线与
的交点
的轨迹方程是
，
该轨迹是以
为焦点的抛物线. ……13分
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
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