已知椭圆C：+=1(a>b>0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y...

问题详情：

已知椭圆C：+=1(a>b>0)的长轴长为4.

(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切，求椭圆C的焦点坐标；

(2)若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM，kPN，当kPM·kPN=-时，求椭圆的方程.

【回答】

 (1)由b=，得b=.又2a=4，

所以a=2，a2=4，b2=2，c2=a2-b2=2，

所以椭圆的两个焦点坐标分别为(，0)，(-，0).

(2)由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，不妨设M(x0，y0)，N(-x0，-y0)，P(x，y)，

由于M，N，P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，

即有+=1，+=1，两式相减得=-.

由题意可知直线PM，PN的斜率存在，

则kPM=，kPN=，

kPM·kPN=·==-，

则-=-.由a=2得b=1，

故所求椭圆的方程为+y2=1.

【精要点评】由给定条件求椭圆方程，常用待定系数法，步骤是：定型——确定曲线形状；定位——确定焦点位置；定量——由条件求a，b，c.当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：填空题