如图,定义:以椭圆中心为圆心,长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”.过椭圆第一象限内一点P作x轴的垂线交其“辅圆”...
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问题详情:
如图,定义:以椭圆中心为圆心,长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”.过椭圆第一象限内一点P作x轴的垂线交其“辅圆”于点Q,当点Q在点P的上方时,称点Q为点P的“上辅点”.已知椭圆上的点的上辅点为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若的面积等于,求上辅点Q的坐标;
(3)过上辅点Q作辅圆的切线与x轴交于点T,判断直线PT与椭圆E的位置关系,并*你的结论.
【回答】
(1);(2);(3)直线PT与椭圆相切,*见解析
【解析】
【分析】
(1)根据定义直接求解即可;(2)设点,,则点,,则可得到,再根据的面积可得到,进一步与椭圆方程联立即得解;(3)表示出直线的方程,与椭圆方程联立,再判断△即可得出结论.
【详解】
(1)椭圆上的点的上辅点为,
辅圆的半径为,椭圆长半轴为,
将点代入椭圆方程中,解得,
椭圆的方程为;
(2)设点,,则点,,将两点坐标分别代入辅圆方程和椭圆方程可得,,,
故,即,
又,则,
将与联立可解得,则,
点的坐标为;
(3)直线与椭圆相切,*如下:
设点,,由(2)可知,,
与辅圆相切于点的直线方程为,则点,
直线的方程为:,整理得,
将与椭圆联立并整理可得,,
由一元二次方程的判别式,可知,上述方程只有一个解,故直线与椭圆相切.
【点睛】
本题以新概念为载体,旨在考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系,考查通*通法的运用,计算量较大,对计算能力的要求较高,属于较难题目.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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