以椭圆C：+=1（a＞b＞0）的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．（1）若椭圆C的离心率为，其“...

问题详情：

以椭圆C：+=1（a＞b＞0）的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．

（1）若椭圆C的离心率为，其“伴随”与直线x+y﹣2=0相切，求椭圆C的方程．

（2）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于AB两点，*线PO交椭圆E于点Q．

（i）求的值；           （ii）求△ABQ面积的最大值．

【回答】

解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其“伴随”与直线x+y﹣2=0相切，

∴，解得a=2，b=1，

∴椭圆C的方程为=1．

（2）由（1）知椭圆E的方程为+=1，

（i）设P（x0，y0），|=λ，由题意可知，

Q（﹣λx0，﹣λy0），由于+y02=1，

又+=1，即（+y02）=1，

所以λ=2，即|=2；

（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，可得

（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，由△＞0，可得m2＜4+16k2，①

则有x1+x2=﹣，x1x2=，

所以|x1﹣x2|=，

由直线y=kx+m与y轴交于（0，m），

则△AOB的面积为S=|m|•|x1﹣x2|=|m|•=2，

设=t，则S=2，

将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

由△＞0可得m2＜1+4k2，②

由①②可得0＜t＜1，则S=2在（0，1）递增，即有t=1取得最大值，

即有S，即m2=1+4k2，取得最大值2，

由（i）知，△ABQ的面积为3S，

即△ABQ面积的最大值为6．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题