如图6，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长...

问题详情：

如图6，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点FF2为顶点的三角形的周长为4(＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.

图6

(1)求椭圆和双曲线的标准方程；

(2)设直线PFPF2的斜率分别为kk2，求*：k1k2＝1.

【回答】

【解】　(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知＝，2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2.

又a2＝b2＋c2，因此b＝2.

故椭圆的标准方程为＋＝1.

由题意设等轴双曲线的标准方程为－＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m＝2，

因此双曲线的标准方程为－＝1.

(2)设P(x0，y0)，则

因为点P在双曲线x2－y2＝4上，所以x－y＝4.

因此k1k2＝＝1，即k1k2＝1.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题