如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(2，1)在椭圆C上．(1)求椭...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(2，1)在椭圆C上．

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 设直线l与圆O：x2＋y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．

① 若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；

② 求*：OP⊥OQ.

【回答】

 (1) 解：由题意，得＝，＋＝1，

解得a2＝6，b2＝3.

所以椭圆的方程为＋＝1.(2分)

(2) ① 解：(解法1)椭圆C的右焦点F(，0)．

设切线方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，

 (解法2)椭圆C的右焦点F(，0)．

设切线方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，

所以＝，解得k＝±，

所以切线方程为y＝±(x－)．(4分)

把切线方程y＝(x－)代入椭圆C的方程，消去y得5x2－8x＋6＝0.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝.

由椭圆定义可得，PQ＝PF＋FQ＝2a－e(x1＋x2)＝2×－

因为O到直线PQ的距离为，所以△OPQ的面积为.

因为椭圆的对称*，当切线方程为y＝－(x－)时，△OPQ的面积也为.

综上所述，△OPQ的面积为.(8分)

② *：(*法1)(ⅰ) 若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x＝或x＝－.

当x＝时，P(，)，Q(，－)．

因为＝0，所以OP⊥OQ.

当x＝－时，同理可得OP⊥OQ.(10分)

(ⅱ) 若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0.

所以＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋

因为x＋y＝2，代入上式可得＝0，所以OP⊥OQ.

综上所述，OP⊥OQ.(14分)

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题