已知椭圆C：x2＋2y2＝4．(1)求椭圆C的离心率．(2)设O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，...

问题详情：

已知椭圆C：x2＋2y2＝4．

(1)求椭圆C的离心率．

(2)设O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

【回答】

解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1．

所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2．

因此a＝2，c＝．

故椭圆C的离心率e＝＝．

(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0．

因为OA⊥OB，所以＝0，

即tx0＋2y0＝0，

解得t＝－．又x＋2y＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝＋(y0－2)2

因为＋≥4(0<x≤4)，

当且仅当x＝4时等号成立，

所以|AB|2≥8．

故线段AB长度的最小值为2．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题