已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到右焦点F的最近距离为2，若椭圆C与x轴交于A、B两点，M是椭圆C上异于A...

问题详情：

    已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到右焦点F的最近距离为2，若椭圆C与x轴交于A、B两点，M是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线MA交直线于G点，直线MB交直线于H点。

    （1）求椭圆C的方程；

    （2）试探求以GH为直径的圆是否恒经过x轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由。

【回答】

解（Ⅰ）由题意得

.

椭圆的方程为： ……………………………………………………4分

（Ⅱ）记直线、的斜率分别为、，设的坐标分别为,,，.

在椭圆上，所以，，

设，则，.

，又.

.……………………………………………………………8分

因为的中点为，,所以，以为直径的圆的方程为：.

令，得，

，将两点代入检验恒成立.

所以，以为直径的圆恒过轴上的定点

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题