已知椭圆,AB分别为椭圆C的左、右顶点,过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C相交于M,N两点(异于点A,B).(1...
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问题详情:
已知椭圆,AB分别为椭圆C的左、右顶点,过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C相交于M,N两点(异于点A,B).
(1)若,椭圆的焦距为2,求椭圆C的方程;
(2)记直线MA,BN的斜率分别为,求椭圆C的离心率.
【回答】
(1)(2)
【解析】
(1)由点M在椭圆上,并结合,,可求出椭圆方程;
(2)由点M,N在椭圆上,可得,化简可求椭圆C的离心率.
【详解】
解:(1)由题意得,①
,所以,
所以,②
由①②可得,,
所以椭圆C的方程为.
(2)由题意得,,,设,,
因为点M在椭圆C上,所以,
所以.(ⅰ)
设直线,
联立,得,消去x并整理得,,
则,
,,(*)
所以,
将(*)代入上式化简得,,(ⅱ)
又
所以由(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)得,,
所以,即,解得或.
又,所以,即椭圆C的离心率为.
【点睛】
本题考查椭圆的方程、椭圆的离心率、直线与椭圆的位置关系,考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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