设椭圆C：的离心率e＝，左顶点M到直线＝1的距离d＝，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆...

问题详情：

设椭圆C：的离心率e＝，左顶点M到直线＝1的距离d＝，O为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，*：点O到直线AB的距离为定值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．

【回答】

【解答】解：（Ⅰ）由已知得，又a2＝b2+c2，

解得a＝2，b＝1，c＝，

∴椭圆C的方程为．

（Ⅱ）*：设A（x1，y1），B（x2，y2），

①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称*知x1＝x2，y1＝﹣y2，

∵以AB为直线的圆经过坐标原点，∴＝0，

∴x1x2+y1y2＝0，∴，

又点A在椭圆C上，

解得|x1|＝|y1|＝．

此时点O到直线AB的距离．

（2）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝kx+m，

联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，

∵以AB为直径的圆过坐标原点O，∴OA⊥OB，

∴＝x1x2+y1y2＝0，

∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝0，

∴（1+k2）•，

整理，得5m2＝4（k2+1），

∴点O到直线AB的距离＝，

综上所述，点O到直线AB的距离为定值．

（3）设直线OA的斜率为k0，

当k0≠0时，OA的方程为y＝k0x，OB的方程为y＝﹣，

联立，得，同理，得，

∴△AOB的面积S＝＝2，

令1+＝t，t＞1，

则S＝2＝2，                             

令g（t）＝﹣++4＝﹣9（）2+，（t＞1）

∴4＜g（t），∴，

当k0＝0时，解得S＝1，

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题