已知椭圆C：=1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．（1）求椭圆C上的点M的“伴随...

问题详情：

已知椭圆C： =1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．

（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；

（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N，求的取值范围；

（3）当a=2，b=时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．

【回答】

（1）设N（x，y）由题意，则，

又，

∴，

从而得x2+y2=1…（3分）

（2）由，得a=2．又，得．

∵点M（x0，y0）在椭圆上，，，且，

•=（x0，y0）（，）=+=x02+，

由于，的取值范围是[，2]…（6分）

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则；

1）当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+m，由，

得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0；

 有①…（7分）

由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得：3x1x2+4y1y2=0；

整理得：②

将①式代入②式得：3+4k2=2m2，…（8分）

3+4k2＞0，则m2＞0，△=48m2＞0，

又点O到直线y=kx+m的距离，

丨AB丨==×=×，

∴…（9分）

2）当直线l的斜率不存在时，设方程为x=m（﹣2＜m＜2）

联立椭圆方程得；代入3x1x2+4y1y2=0，得，

解得m2=2，从而，（10分）

S△OAB=丨AB丨×d=丨m丨丨y1﹣y2丨=，

 综上：△OAB的面积是定值．…（12分）

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题