已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（0，3），与双曲线有相同的焦点       （1）求椭圆C的方程；     ...

问题详情：

已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（0，3），与双曲线有相同的焦点       

（1）求椭圆C的方程；          

（2）过A点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆C于P，Q两点，则PQ是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由．       

【回答】

解：（1）双曲线=1的焦点坐标为（3，0），（﹣3，0），          

可得椭圆中的c=3，由椭圆过点A（0，3），可得b=3，        

则a==6，          

则椭圆的方程为+=1；          

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线AP的斜率为k，直线AQ的斜率为﹣，        

直线AP的方程为y=kx+3，代入椭圆x2+4y2﹣36=0，          

可得（1+4k2）x2+24kx=0，        

解得x1=﹣，y1=kx1+3=，           

即有P（﹣，），         

将上式中的k换为﹣，可得Q（，），          

则直线PQ的斜率为kPQ==，           

直线PQ的方程为y﹣=（x+），           

可化为x（k2﹣1）﹣（5y+9）k=0，        

可令x=0，5y+9=0，即x=0，y=﹣．          

则PQ过定点（0，﹣）．       

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题