椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆...

问题详情：

椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，❶连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；

(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．❷设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试*＋为定值，❸并求出这个定值．

【回答】

解　(1)椭圆C的方程为＋y2＝1(过程略)．

(2)m的取值范围是 (过程略)．

(3)设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．

联立整理得

(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(y－2kx0y0＋k2x－1)＝0.

由题意，得Δ＝0，即(4－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0.

又＋y＝1，所以16yk2＋8x0y0k＋x＝0，

即(4y0k＋x0)2＝0.故k＝－.

由椭圆C可得F1(－，0)，F2(，0)，又P(x0，y0)，所以＋＝＝，

所以＋＝·＝－8.

因此＋为定值，这个定值为－8.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题