如图,已知F1、F2是椭圆G:的左、右焦点,直线l:y=k(x+1)经过左焦点F1,且与椭圆G交于A、B两点,...
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如图,已知F1、F2是椭圆G:的左、右焦点,直线l:y=k(x+1)经过左焦点F1,且与椭圆G交于A、B两点,△ABF2的周长为. (Ⅰ)求椭圆G的标准方程; (Ⅱ)是否存在直线l,使得△ABF2为等腰直角三角形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(Ⅰ)设椭圆G的半焦距为c,因为直线l与x轴的交点为(-1,0),故c=1. 又△ABF2的周长为,即,故a=. 所以,b2=a2-c2=3-1=2. 因此,椭圆G的标准方程为; 注:本小题也可以用焦点和离心率作为条件,即将周长换离心率. (Ⅱ)不存在.理由如下:先用反*法*AB不可能为底边,即|AF2|≠|BF2|. 由题意知F2(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),假设|AF2|=|BF2|, 则, 又,,代入上式,消去,得:(x1-x2)(x1+x2-6)=0. 因为直线l斜率存在,所以直线l不垂直于x轴,所以x1≠x2,故x1+x2=6(与x1≤,x2≤,x1+x2≤2<6,矛盾). 联立方程,得:(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0, 所以=6,矛盾. 故|AF2|≠|BF2|. 再*AB不可能为等腰直角三角形的直角腰. 假设△ABF2为等腰直角三角形,不妨设A为直角顶点. 设|AF1|=m,则, 在△AF1F2中,由勾股定理得:,此方程无解. 故不存在这样的等腰直角三角形. 注:本题也可改为是否存在直角三角形?会简单一些.改为是否存在等腰三角形则不易计算,也可修改椭圆方程使存在等腰直角三角形.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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