如图，分别过椭圆E：的左、右焦点F1，F2的动直线l1，l2：相交于点P，与椭圆E分别交于A、B和C、D四点，...

问题详情：

如图，分别过椭圆E：的左、右焦点F1，F2的动直线l1，l2：相交于点P，与椭圆E分别交于A、B和C、D四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率k1，k2，k3，k4满足k1＋k2＝k3＋k4。已知当l1与x轴重合时，|AB|＝2，|CD|＝。

(1)求椭圆E的方程；

(2)是否存在定点M，N，使得|PM|＋|PN|为定值？若存在，求出点M、N的坐标及定值；若不存在，请说明理由。

【回答】

解：(1)当l1与x轴重合时，k1＋k2＝k3＋k4＝0，即k3＝－k4，

∴l2垂直于x轴，得|AB|＝2a＝2，|CD|＝＝，

得a＝，b＝，∴椭圆E的方程为＋＝1. ------------------------------------------- 4分

(2)焦点F1，F2坐标分别为(－1，0)，(1，0)，

当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(－1，0)或(1，0)，-------------------------------------- 5分

当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得(2＋3m)x2＋6mx＋3m－6＝0，

∴x1＋x2＝－，x1x2＝，

k1＋k2＝＋＝m1＝m1＝m1＝－，- 7分

同理k3＋k4＝－，--------------------------------------------------------------------------------- 8分

∵k1＋k2＝k3＋k4，∴＝，即(m1m2＋2)(m2－m1)＝0，

由题意知m1≠m2，∴m1m2＋2＝0----------------------------------------------------------------------- 9分

设P(x，y)，则·＋2＝0，即＋x2＝1(x≠±1)，---------------------------------------- 10分

又当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(－1，0)或(1，0)也满足此方程，

∴点P(x，y)在椭圆＋x2＝1上，

存在点M(0，－1)和点N(0，1)，使得|PM|＋|PN|为定值，定值为2.------------------------ 12分

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题