如图，在四面体中，，.（Ⅰ）*：；（Ⅱ）若，，四面体的体积为2，求二面角的余弦值.

问题详情：

如图，在四面体中，，.

（Ⅰ）*：；

（Ⅱ）若，，四面体的体积为2，求二面角的余弦值.

【回答】

【解析】

分析：（1）作Rt△斜边上的高，连结，易*平面，从而得*；

（2）由四面体的体积为2，，得，所以平面，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用面的法向量求解二面角的余弦值即可.

详解：解法一：（1）如图，作Rt△斜边上的高，连结．

因为，，所以Rt△≌Rt△．可得．所以平面，于是．

（2）在Rt△中，因为，，所以，， ，△的面积．因为平面，四面体的体积，所以，，，所以平面．

以，，为，，轴建立空间直角坐标系．则， ，，，，，．

设是平面的法向量，则，即，可取．

设是平面的法向量，则，即，可取．

因为，二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为

解法二：（1）因为，，所以Rt△≌Rt△．可得．

设中点为，连结，，则，，所以平面，，于是．

（2）在Rt△中，因为，，所以△面积为．设到平面距离为，因为四面体的体积，所以．

在平面内过作，垂足为，因为，，所以．由点到平面距离定义知平面．

因为，所以．因为，，所以，，所以，即二面角的余弦值为．

点睛：本题主要考查空间位置关系的*和空间角的计算，意在考查学生立体几何和空间向量的基础知识的掌握能力和基本的运算能力.*位置关系和求空间的角都有两种方法，一是几何的方法，一是向量的方法，各有特*，要根据具体情况灵活选择，提高解析效率.

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题