如图,在四面体中,,分别是线段,的中点,,,,直线与平面所成的角等于.(1)*:平面平面;(2)求二面角的余...
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如图,在四面体中,,分别是线段,的中点,,,,直线与平面所成的角等于.
(1)*:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
【回答】
【详解】(Ⅰ)在中,是斜边的中点,
所以.
因为是的中点,
所以,且,
所以,
所以.
又因为,
所以,
又,
所以平面,
因为平面,
所以平面平面.
(Ⅱ)方法一:取中点,连,则,
因为,
所以.
又因为,,
所以平面,
所以平面.
因此是直线与平面所成的角.
故,
所以.
过点作于,则平面,
且.
过点作于,连接,
则为二面角的平面角.
因为,
所以,
所以,
因此二面角的余弦值为.
方法二:
如图所示,在平面BCD中,作x轴⊥BD,以B为坐标原点,BD,BA所在直线为y轴,z轴建立空间直角坐标系.
因为 (同方法一,过程略)
则,,.
所以,,,
设平面的法向量,
则,即,取,得.
设平面的法向量
则,即,取,得.
所以,
由图形得二面角为锐角,
因此二面角的余弦值为.
【点睛】利用几何法求空间角的步骤为“作、*、求”,将所求角转化为解三角形的问题求解,注意计算和*的交替运用.利用空间向量求空间角时首先要建立适当的坐标系,通过求出两个向量的夹角来求出空间角,此时需要注意向量的夹角与空间角的关系.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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