如图,底面是边长为的正方形,平面,,,与平面所成的角为.(1)求*:平面平面;(2)求二面角的余弦值.
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问题详情:
如图,底面是边长为的正方形,平面,,,与平面所成的角为.
(1)求*:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
【回答】
【解答】(1)*:∵DE⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD.
∴DE⊥AC.
又底面ABCD是正方形,∴AC⊥BD,
又BD∩DE=D,
∴AC⊥平面BDE,又AC⊂平面ACE,
∴平面ACE⊥平面BDE.
(2)以D为坐标原点,DA、DC、DE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz,
∵BE与平面ABCD所成的角为45°,即∠EBD=45°,
∴DE=BD=AD=3,CF=DE=.
∴A(3,0,0),B(3,3,0),C(0,3,0),E(0,0,3),F(0,3,),
∴=(﹣3,0,),=(0,3,﹣2),
设平面BEF的一个法向量为=(x,y,z),则,即,
令z=3,则=(2,4,3).
又AC⊥平面BDE,∴=(﹣3,3,0)为平面BDE的一个法向量.
∴cos<>===.
∵二面角F﹣BE﹣D为锐角,
∴二面角F﹣BE﹣D的余弦值为.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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