.在三棱台中，是等边三角形，二面角的平面角为，.（I）求*：；（II）求直线与平面所成角的正弦值.

问题详情：

.在三棱台中，是等边三角形，二面角的平面角为，.

（I）求*：；

（II）求直线与平面所成角的正弦值.

【回答】

【详解】（I）*：设，与交于点，取棱的中点，连结.

因，，

故.

又是棱的中点，

故.

同理

又平面，且，

因此平面，

又平面，

所以； 

（II）方法一：

作，垂足为.

因平面，

故平面，

从而为直线与平面所成的角.

不妨设,则，，

所以. 

方法二：如图，以为原点建立空间直角坐标系，

由（I），为二面角的平面角，则，

设，，则点 , , ，.

设为平面，即平面的一个法向量，

由 ，得，

令，则，即.

设是直线与平面所成的角，

则.

【点睛】本题第一问主要考查由线面垂直推面面垂直，需要用到线面垂直的判定定理；第二问求线面角的正弦值，通常有两种做法：立体几何法（即在几何体中直接作出直线与平面所成的角，求解即可）和空间向量的方法（即建立适当坐标系求出直线的方向向量和平面的法向量，由向量的夹角确定线面角即可）；属于常考题型.

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题