如图,在长方体中,点在线段上.(Ⅰ)求异面直线与所成的角;(Ⅱ)若二面角的大小为,求点到平面的距离.
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问题详情:
如图,在长方体中,点在线段上.
(Ⅰ)求异面直线与所成的角;
(Ⅱ)若二面角的大小为,求点到平面的距离.
【回答】
解析:本题涉及立体几何线面关系的有关知识, 本题实质上求角度和距离,在求此类问题中,要将这些量归结到三角形中,最好是直角三角形,这样有利于问题的解决,此外用向量也是一种比较好的方法.
*:解法一:(Ⅰ)连结。由已知,是正方形,有。
∵平面,∴是在平面内的*影。
根据三垂线定理,得,则异面直线与所成的角为。
作,垂足为,连结,则
所以为二面角的平面角,.
于是
易得,所以,又,所以。
设点到平面的距离为.
∵即,
∴,即,∴.
故点到平面的距离为。
解法二:分别以为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.
(Ⅰ)由,得
设,又,则。
∵∴
则异面直线与所成的角为。
(Ⅱ)为面的法向量,设为面的法向量,则
∴. ①
由,得,则,即
∴ ②
由①、②,可取
又,所以点到平面的距离
。
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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