如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.（1）*：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=...

问题详情：

如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.

（1）*：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.

【回答】

（1）见解析；（2）.

【详解】

（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．

由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD．

又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．

（2）在平面内作，垂足为，

由（1）可知，平面，故，可得平面.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.

由（1）及已知可得，，，.

所以，，，.

设是平面的法向量，则

即

可取.

设是平面的法向量，则

即可取.

则，

所以二面角的余弦值为.

【名师点睛】

高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：

①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；

②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；

③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.

知识点：空间中的向量与立体几何

题型：解答题