已知椭圆C:=1()的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于...

问题详情：

已知椭圆C:=1()的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.

(Ⅰ) 求椭圆C的方程;

(Ⅱ) 设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.

【回答】

解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为，依题意，    ………………1分

∴                                              ………………2分 ∴所求椭圆方程为.                    ………………3分 (Ⅱ)解法一：设 （i）当轴时，，；                      ………………4分 （ii）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为 由已知，得                    ………………6分 将代入椭圆方程，整理得

恒成立 ∴ ∴                               ………………8分 令

，

当，即时“＝”成立.

∴…………………………………………………………………………11分

∴当最大时，面积取最大值    ……………12分

解法二：(Ⅱ)设，（1）当斜率为0时，……………4分

（2）当斜率不为0时，的方程可设为

因：到的距离为，则，得………………6分

将代入，整理得：

即得……………………8分

∴

令，则

∴

当，即时，

此时，即，满足 

∴当最大时，面积取最大值

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题