.在△ABC中,AB=BC,點O是AC的中點,點P是AC上的一個動點(點P不與點A,O,C重合).過點A,點C...
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問題詳情:
.在△ABC中,AB=BC,點O是AC的中點,點P是AC上的一個動點(點P不與點A,O,C重合).過點A,點C作直線BP的垂線,垂足分別爲點E和點F,連接OE,OF.
(1)如圖1,請直接寫出線段OE與OF的數量關係;
(2)如圖2,當∠ABC=90°時,請判斷線段OE與OF之間的數量關係和位置關係,並說明理由
(3)若|CF﹣AE|=2,EF=2,當△POF爲等腰三角形時,請直接寫出線段OP的長.
【回答】
【解答】解:(1)如圖1中,延長EO交CF於K.
∵AE⊥BE,CF⊥BE,∴AE∥CK,∴∠EAO=∠KCO.
∵OA=OC,∠AOE=∠COK,∴△AOE≌△COK,∴OE=OK.
∵△EFK是直角三角形,∴OF=EK=OE.
(2)如圖2中,延長EO交CF於K.
∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°,∴∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF.
∵AB=BC,∴△ABE≌△BCF,∴BE=CF,AE=BF.
∵△AOE≌△COK,∴AE=CK,OE=OK,∴FK=EF,∴△EFK是等腰直角三角形,∴OF⊥EK,OF=OE.
(3)如圖3中,延長EO交CF於K.作PH⊥OF於H.
∵|CF﹣AE|=2,EF=2,AE=CK,∴FK=2.在Rt△EFK中,tan∠FEK=,∴∠FEK=30°,∠EKF=60°,∴EK=2FK=4,OF=EK=2.
∵△OPF是等腰三角形,觀察圖形可知,只有OF=FP=2.在Rt△PHF中,PH=PF=1,HF=,OH=2﹣,∴OP==﹣
如圖4中,當點P在線段OC上時,同法可得OP=﹣,
綜上所述:OP的長爲﹣.
知識點:各地中考
題型:綜合題
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