在平面直角座標系xoy中,一塊含60°角的三角板作如圖擺放,斜邊AB在x軸上,直角頂點C在y軸正半軸上,已知點...
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問題詳情:
在平面直角座標系xoy中, 一塊含60°角的三角板作如圖擺放,斜邊AB在x軸上,直角頂點C在y軸正半軸上,已知點A(-1,0). 21·cn·jy·com
(1)請直接寫出點B、C的座標:B( , )、C( , );並求經過A、B、C三點的拋物線解析式;
(2)現有與上述三角板完全一樣的三角板DEF(其中∠EDF=90°,∠DEF=60°),把頂點E放在線段AB上(點E是不與A、B兩點重合的動點),並使ED所在直線經過點C. 此時,EF所在直線與(1)中的拋物線交於第一象限的點M.連接MB和MC,當△OCE∽△OBC時,判斷四邊形AEMC的形狀,並給出*;
(3) 有一動點P在(1)中的拋物線上運動,是否存在點P,以點P爲圓心作圓能和直線AC和x軸同時相切 ,若存在,求出圓心P的座標;若不存在,請說明理由.
【回答】
(1)解:(1)B(3,0),C(0,).
∵A(—1,0)B(3,0),∴可設過A、B、C三點的拋物線爲 .
又∵C(0,)在拋物線上,∴,解得.
∴經過A、B、C三點的拋物線解析式
即.
(2)四邊形AEMC是菱形.
當△OCE∽△OBC時,則.
∵OC=,∴
∴OE=1.
∴E(1,0)在拋物線對稱軸上,∴△CAE爲等邊三角形,∴∠AEC=∠A=60°.
又∵∠CEM=60°, ∴∠MEB=∠AEC=60°.
∴點C與點M關於拋物線的對稱軸對稱.
C(0,),∴M(2,).
∴MC=AE=2, MC∥AE
∴四邊形AEMC是平行四邊形。
∵AC=CM=2
∴四邊形AEMC是菱形. 8分
(3)由⊙P與直線AC和x軸同時相切易知點P在兩線夾角的平分線上,
①當在x軸上方時,∠PAO=30°,設點P座標爲(x, ),過P作PQ⊥x軸,交點爲Q,則AQ=PQ,得x+1= ()
解得,x1=2 ,x2=-1(捨去),所以點P座標爲(2,)…
②當在x軸下方時,∠PAO=60°,設點P座標爲(x, ),過P作PQ⊥x軸,交點爲Q,則AQ=PQ,得(x+1)= -()
解得,x1=6 ,x2=-1(捨去),所以點P座標爲(6,-7)
也可以用直線和拋物線聯立方程組解決,
綜上所述,存在點P滿足條件,點P座標爲(2,)或(6,-7)
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題
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