如圖,矩形OABC在平面直角座標系xOy中,點A在x軸的正半軸上,點C在y軸的正半軸上,OA=4,OC=3,若...
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問題詳情:
如圖,矩形OABC在平面直角座標系xOy中,點A在x軸的正半軸上,點C在y軸的正半軸上,OA=4,OC=3,若拋物線的頂點在BC邊上,且拋物線經過O,A兩點,直線AC交拋物線於點D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求點D的座標;
(3)若點M在拋物線上,點N在x軸上,是否存在以A,D,M,N爲頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點N的座標;若不存在,請說明理由.
【回答】
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)由OA的長度確定出A的座標,再利用對稱*得到頂點座標,設出拋物線的頂點形式y=a(x﹣2)2+3,將A的座標代入求出a的值,即可確定出拋物線解析式;
(2)設直線AC解析式爲y=kx+b,將A與C座標代入求出k與b的值,確定出直線AC解析式,與拋物線解析式聯立即可求出D的座標;
(3)存在,分兩種情況考慮:如圖所示,當四邊形ADMN爲平行四邊形時,DM∥AN,DM=AN,由對稱*得到M(3,),即DM=2,故AN=2,根據OA+AN求出ON的長,即可確定出N的座標;當四邊形ADM′N′爲平行四邊形,可得三角形ADQ全等於三角形N′M′P,M′P=DQ=,N′P=AQ=3,將y=﹣代入得:﹣=﹣x2+3x,求出x的值,確定出OP的長,由OP+PN′求出ON′的長即可確定出N′座標.
【解答】解:(1)設拋物線頂點爲E,根據題意OA=4,OC=3,得:E(2,3),
設拋物線解析式爲y=a(x﹣2)2+3,
將A(4,0)座標代入得:0=4a+3,即a=﹣,
則拋物線解析式爲y=﹣(x﹣2)2+3=﹣x2+3x;
(2)設直線AC解析式爲y=kx+b(k≠0),
將A(4,0)與C(0,3)代入得:,
解得:,
故直線AC解析式爲y=﹣x+3,
與拋物線解析式聯立得:,
解得:或,
則點D座標爲(1,);
(3)存在,分兩種情況考慮:
①當點M在x軸上方時,如答圖1所示:
四邊形ADMN爲平行四邊形,DM∥AN,DM=AN,
由對稱*得到M(3,),即DM=2,故AN=2,
∴N1(2,0),N2(6,0);
②當點M在x軸下方時,如答圖2所示:
過點D作DQ⊥x軸於點Q,過點M作MP⊥x軸於點P,可得△ADQ≌△NMP,
∴MP=DQ=,NP=AQ=3,
將yM=﹣代入拋物線解析式得:﹣=﹣x2+3x,
解得:xM=2﹣或xM=2+,
∴xN=xM﹣3=﹣﹣1或﹣1,
∴N3(﹣﹣1,0),N4(﹣1,0).
綜上所述,滿足條件的點N有四個:N1(2,0),N2(6,0),N3(﹣﹣1,0),N4(﹣1,0).
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題
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