已知橢圓的離心率爲，焦距爲.斜率爲的直線與橢圓有兩個不同的交點、.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若，求的最大值；（...

問題詳情：

已知橢圓的離心率爲，焦距爲.斜率爲的直線與橢圓有兩個不同的交點、.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若，求的最大值；

（Ⅲ）設，直線與橢圓的另一個交點爲，直線與橢圓的另一個交點爲.若、和點 共線，求.

【回答】

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【分析】

（Ⅰ）根據題幹可得的方程組，求解的值，代入可得橢圓方程；

（Ⅱ）設直線方程爲，聯立，消整理得，利用根與係數關係及弦長公式表示出，求其最值；

（Ⅲ）聯立直線與橢圓方程，根據韋達定理寫出兩根關係，結合三點共線，利用共線向量基本定理得出等量關係，可求斜率.

【詳解】

（Ⅰ）由題意得，所以，

又，所以，所以，

所以橢圓的標準方程爲；

（Ⅱ）設直線的方程爲，

由消去可得，

則，即，

設，，則，，

則，

易得當時，，故的最大值爲；

（Ⅲ）設，，，，

則  ①，  ②，

又，所以可設，直線的方程爲，

由消去可得，

則，即，

又，代入①式可得，所以，

所以，同理可得．

故，，

因爲三點共線，所以，

將點的座標代入化簡可得，即．

【點睛】

本題主要考查橢圓與直線的位置關係，第一問只要找到三者之間的關係即可求解；第二問主要考查學生對於韋達定理及弦長公式的運用，可將弦長公式變形爲，再將根與係數關係代入求解；第三問考查橢圓與向量的綜合知識，關鍵在於能夠將三點共線轉化爲向量關係，再利用共線向量基本定理建立等量關係求解.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題