設橢圓的離心率爲,且橢圓過點.過點作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交於四點.(Ⅰ)求橢圓的標準方程;(Ⅱ)若,探...
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問題詳情:
設橢圓的離心率爲,且橢圓過點.過點作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交於四點.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)若,探究:直線是否過定點?若是,請求出定點座標;若不是,請說明理由.
【回答】
試題解析:(Ⅰ)由題意知,,解得,
故橢圓的方程爲.
(Ⅱ)∵,,∴、分別爲、的中點.
當兩直線的斜率都存在且不爲0時,設直線的方程爲,
則直線的方程爲,,,,,
聯立,得,∴,
∴,,∴中點的座標爲;
同理,中點的座標爲,∴,
∴直線的方程爲,
即,∴直線過定點;
當兩直線的斜率分別爲0和不存在時,則直線的方程爲,也過點;
綜上所述,直線過定點.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題
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