橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1，F2，離心率為，過F1且垂直於x軸的直線被橢圓...

問題詳情：

橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1，F2，離心率為，過F1且垂直於x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，❶連接PF1，PF2，設∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸於點M(m,0)，求m的取值範圍；

(3)在(2)的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點．❷設直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，試*＋為定值，❸並求出這個定值．

【回答】

解　(1)橢圓C的方程為＋y2＝1(過程略)．

(2)m的取值範圍是 (過程略)．

(3)設P(x0，y0)(y0≠0)，則直線l的方程為y－y0＝k(x－x0)．

聯立整理得

(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(y－2kx0y0＋k2x－1)＝0.

由題意，得Δ＝0，即(4－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0.

又＋y＝1，所以16yk2＋8x0y0k＋x＝0，

即(4y0k＋x0)2＝0.故k＝－.

由橢圓C可得F1(－，0)，F2(，0)，又P(x0，y0)，所以＋＝＝，

所以＋＝·＝－8.

因此＋為定值，這個定值為－8.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題