已知橢圓的左、右焦點分別為，且橢圓離心率為，過作軸的垂線與橢圓交於兩點，且，動點在橢圓上．（I）求橢圓的標準方...

問題詳情：

已知橢圓的左、右焦點分別為，且橢圓離心率為，過作軸的垂線與橢圓交於兩點，且，動點在橢圓上．

（I）求橢圓的標準方程；

（II）記橢圓的左、右頂點分別為，且直線的斜率分別與直線（為座標原點）的斜率相同，動點不與重合，試判斷的面積是否為定值，並説明理由.

【回答】

（I）聯立方程得解得，

故，即，又，，所以，

故橢圓C的標準方程為.

（II）由（I）知，，設，

則，

又，即，

所以，所以.

當直線的斜率不存在時，直線的斜率分別為或，

不妨設直線的方程是，由得或．

取，則，所以的面積為.

當直線的斜率存在時，設方程為．

由得．

因為在橢圓上，所以，解得．

設,,則，.

所以

．

設點到直線的距離為，則．

所以的面積為，①．

因為，

所以

由，得，②．

由①②，得．

綜上所述，的面積為定值，該定值為．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題