已知橢圓過點，且離心率為．（1）求橢圓的標準方程；（2）若點與點均在橢圓上，且關於原點對稱，問：橢圓上是否存在...

問題詳情：

已知橢圓過點，且離心率為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若點與點均在橢圓上，且關於原點對稱，問：橢圓上是否存在點（點在一象限），使得為等邊三角形？若存在，求出點的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

（1）；（2）存在，．

【解析】（1）根據已知條件，列出不等式組，求解，即可求解橢圓的橢圓的方程；（2）設直線的斜率為，則直線，代入橢圓的方程，解得點的座標，同理可得直線的方程，代入求解所以，即可求解點的座標．

試題解析：（1）由題意，解得，

所以橢圓的標準方程為．

（2）由題意知直線經過座標原點，假設存在符合條件的點，則直線的斜率存在且大於零，①

設直線的斜率為，則直線，

聯立方程組，得，

所以②

同理可得直線的方程為③

將②③代入①式得，

化簡得，所以

所以，

綜上所述，存在符合條件的點

考點：橢圓的標準方程；直線與橢圓的位置關係．

【方法點晴】本題主要考查了橢圓的標準方程及直線與橢圓的位置關係的應用，其中解答中涉及到橢圓的幾何*質的應用、函數與方程思想等知識點的綜合考查，着重考查了學生的推理與運算能力以及轉化與化歸思想的應用，此類問題的解答中把直線的方程與圓錐曲線的方程聯立，轉化為方程的根與係數的關係、判別式和韋達定理的應用是解答的關鍵，試題運算量大，有一定的難度，屬於難題．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題