已知橢圓的一個焦點為，離心率為，（1）求橢圓C的標準方程；（2）若動點為橢圓外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相...

問題詳情：

已知橢圓的一個焦點為，離心率為，

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若動點為橢圓外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程。

【回答】

解：（１）可知，又，，，

橢圓C的標準方程為；                                   .. …… 5分

（２）設兩切線為，

①當軸或軸時，對應軸或軸，可知；   .. …… 6分

②當與軸不垂直且不平行時，，設的斜率為，則，的斜率為，

的方程為，聯立，

得，

因為直線與橢圓相切，所以，得，

，

所以是方程的一個根，

同理是方程的另一個根，

，得，其中，

所以點P的軌跡方程為（），

因為滿足上式，綜上知：點P的軌跡方程為．       .. …… 12分

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題