設函數f(x)是R上的奇函數,f(x+π)=﹣f(x),當0≤x≤時,f(x)=cosx﹣1,則﹣2π≤x≤2...
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問題詳情:
設函數f(x)是R上的奇函數,f(x+π)=﹣f(x),當0≤x≤時,f(x)=cosx﹣1,則﹣2π≤x≤2π時,f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積為( )
A.4π﹣8 B.2π﹣4 C.π﹣2 D.3π﹣6
【回答】
A【考點】6G:定積分在求面積中的應用.
【分析】根據函數的奇偶*得到函數的週期是2π,分別求出函數的解析式,利用積分的應用即可得到結論
【解答】解:由f(x+π)=﹣f(x)得f(x+2π)=f(x),
即函數的週期是2π,
若﹣≤x≤0,則0≤﹣x≤,
即f(﹣x)=cos(﹣x)﹣1=cosx﹣1,
∵f(x)是R上的奇函數,
∴f(﹣x)=cosx﹣1=﹣f(x),
即f(x)=1﹣cosx,﹣≤x≤0,
∵函數的週期是2π,
∴當<x≤2π時,﹣<x﹣2π≤0,
即f(x)=f(x﹣2π)=1﹣cos(x﹣2π)=1﹣cosx,
當<x≤π時,﹣<x﹣π≤0,
即f(x)=﹣f(x﹣π)=cos(x﹣π)﹣1=﹣cosx﹣1,
當π<x≤時,0≤x﹣π≤,
即f(x)=﹣f(x﹣π)=﹣cos(x﹣π)+1=cosx+1,
綜上:f(x)=,
則由積分的公式和*質可知當﹣2π≤x≤2π時,f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積
S=2=4=8=8||=8(x﹣sinx)|=4π﹣8.
故選A.
知識點:導數及其應用
題型:選擇題
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