已知橢圓＋＝1(a>b>0)，點在橢圓上．(1)求橢圓的離心率；(2)設A為橢圓的左頂點，O為座標...

問題詳情：

已知橢圓＋＝1(a>b>0)，點在橢圓上．

(1)求橢圓的離心率；

(2)設A為橢圓的左頂點，O為座標原點，若點Q在橢圓上且滿足|AQ|＝|AO|，求直線OQ的斜率．

【回答】

解：(1)因為點P在橢圓上，故＋＝1，可得＝.

於是e2＝＝1－＝，

所以橢圓的離心率e＝.

(2)設直線OQ的斜率為k，則其方程為y＝kx.設點Q的座標為(x0，y0)．

由條件得

消去y0並整理得x＝.①

由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及y0＝kx0得，

(x0＋a)2＋k2x＝a2，

整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.

而x0≠0，故x0＝.

代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2·＋4.由(1)知＝，故(1＋k2)2＝k2＋4，

即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5.

所以直線OQ的斜率k＝±.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題