設f(x)和g(x)都是定義在同一區間上的兩個函數,若對任意x∈[1,2],都有|f(x)+g(x)|≤8,則...
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問題詳情:
設f(x)和g(x)都是定義在同一區間上的兩個函數,若對任意x∈[1,2],都有|f(x)+g(x)|≤8,則稱f(x)和g(x)是“友好函數”,設f(x)=ax,g(x)=.
(1)若a∈{1,4},b∈{-1,1,4},求f(x)和g(x)是“友好函數”的概率;
(2)若a∈[1,4],b∈[1,4],求f(x)和g(x)是“友好函數”的概率.
【回答】
解析:(1)設事件A表示f(x)和g(x)是“友好函數”,
則|f(x)+g(x)|(x∈[1,2])所有的情況有:
x-,x+,x+,4x-,4x+,4x+,
共6種且每種情況被取到的可能*相同.
又當a>0,b>0時ax+在上遞增;
x-和4x-在(0,+∞)上遞增,
∴對x∈[1,2]可使|f(x)+g(x)|≤8恆成立的有x-,x+,x+,4x-,
故事件A包含的基本事件有4種,
∴P(A)==,故所求概率是.
(2)設事件B表示f(x)和g(x)是“友好函數”,
∵a是從區間[1,4]中任取的數,b是從區間[1,4]中任取的數,∴點(a,b)所在區域是長為3,寬為3的矩形區域.
要使x∈[1,2]時,|f(x)+g(x)|≤8恆成立,
需f(1)+g(1)=a+b≤8且f(2)+g(2)=2a+≤8,
∴事件B表示的點的區域是如圖所示的*影部分.
∴P(B)==,
故所求的概率是.
知識點:高考試題
題型:選擇題
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