如圖1，△ABC內接於⊙O，∠BAC的平分線交⊙O於點D，交BC於點E（BE＞EC），且BD=2．過點D作DF...

問題詳情：

如圖1，△ABC內接於⊙O，∠BAC的平分線交⊙O於點D，交BC於點E（BE＞EC），且BD=2．過點D作DF∥BC，交AB的延長線於點F．

（1）求*：DF為⊙O的切線；

（2）若∠BAC=60°，DE=，求圖中*影部分的面積；

（3）若=，DF+BF=8，如圖2，求BF的長．

【回答】

【解答】*：（1）連結OD，如圖1，

∵AD平分∠BAC交⊙O於D，

∴∠BAD=∠CAD，

∴=，

∴OD⊥BC，

∵BC∥EF，

∴OD⊥DF，

∴DF為⊙O的切線；

（2）連結OB，連結OD交BC於P，作BH⊥DF於H，如圖1，

∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，

∴∠BAD=30°，

∴∠BOD=2∠BAD=60°，

∴△OBD為等邊三角形，

∴∠ODB=60°，OB=BD=2，

∴∠BDF=30°，

∵BC∥DF，

∴∠DBP=30°，

在Rt△DBP中，PD=BD=，PB=PD=3，

在Rt△DEP中，∵PD=，DE=，

∴PE==2，

∵OP⊥BC，

∴BP=CP=3，

∴CE=3﹣2=1，

易*得△BDE∽△ACE，

∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=1：，

∴AE=

∵BE∥DF，

∴△ABE∽△AFD，

∴=，即=，解得DF=12，

在Rt△BDH中，BH=BD=，

∴S*影部分=S△BDF﹣S弓形BD

=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD）

=•12•﹣+•（2）2

=9﹣2π；

（3）連結CD，如圖2，由=可設AB=4x，AC=3x，設BF=y，

∵=，

∴CD=BD=2，

∵∠F=∠ABC=∠ADC，

∵∠FDB=∠DBC=∠DAC，

∴△BFD∽△CDA，

∴=，即=，

∴xy=4，

∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD，

而∠DFB=∠AFD，

∴△FDB∽△FAD，

∴=，即=，

整理得16﹣4y=xy，

∴16﹣4y=4，解得y=3，

即BF的長為3．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題