如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，將△ABC摺疊，使點B落在邊AC上的D處，摺痕為PQ．（...

問題詳情：

如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，將△ABC摺疊，使點B落在邊AC上的D處，摺痕為PQ．

（1）當點D與點A重合時，摺痕PQ的長為　   　；

（2）設AD=x，AP=y．

①求y與x的函數表達式，並寫出自變量x的取值範圍；

②當x取何值時，重疊部分為等腰三角形？

【回答】

【解答】解：（1）如圖，

當點D和點A重合時，

由摺疊知，AP=BP，∠BPQ=∠APQ，

∵∠APQ+∠BPQ=180°，

∴∠BPQ=∠APQ=90°=∠BAC，

∴PQ∥AC，

∵AP=BP，

∴PQ是△ABC的中位線，

∴PQ=AC=2；

（2）∵AD=x，AC=4，

∴CD=4﹣x，

∵AP=y，AB=4，

∴BP=4﹣y，

在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB=4，

∴BC=4，∠B=∠C=45°，

如圖1，

由摺疊知，DP=BP=4﹣y，

在Rt△ADP中，根據勾股定理得，AP2+AD2=PD2，

∴y2+x2=（4﹣y）2，

∴y=﹣x2+2（0≤x≤4）；

（3）①PD=DQ時，BP=BQ，

由翻折變換得，BP=PD，BQ=DQ，

∴BP=BQ=PD=DQ，

∴四邊形BQDP是菱形，

∴PD∥BC，BP∥DQ，

∵∠A=90°，AB=AC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴△APD和△CDQ都是等腰直角三角形，

在Rt△APD中，PD=AD=x，

在Rt△CDQ中，CD=DQ，

∵PD=DQ，

∴CD=AD，

∵AC=AD+CD，

∴AD+AD=4，

即：x+x=4

解得AD=4﹣4；

②DQ=PQ時，BQ=PQ，

∴∠BPQ=∠B=45°，

∴△BPQ是等腰直角三角形，

∴點B與點C重合，

∴x=AD=AC=4；

③PD=PQ時，PQ=BP，

∴∠BQP=∠B=45°，

∴△BPQ是等腰直角三角形，

∴點B與點A重合，

此時，點B與點A重合，不符合題意，捨去；

綜上所述，AD的長度為4或4﹣4．

知識點：勾股定理

題型：解答題