如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB為直徑的半圓O交AC於點D，點E是上不與點B，D重合的...

問題詳情：

如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB為直徑的半圓O交AC於點D，點E是上不與點B，D重合的任意一點，連接AE交BD於點F，連接BE並延長交AC於點G．

（1）求*：△ADF≌△BDG；

（2）填空：

①若AB＝4，且點E是的中點，則DF的長為　4﹣2　；

②取的中點H，當∠EAB的度數為　30°　時，四邊形OBEH為菱形．

【回答】

解：（1）*：如圖1，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠BAC＝45°

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝∠AEB＝90°，

∴∠DAF+∠BGD＝∠DBG+∠BGD＝90°

∴∠DAF＝∠DBG

∵∠ABD+∠BAC＝90°

∴∠ABD＝∠BAC＝45°

∴AD＝BD

∴△ADF≌△BDG（ASA）；

（2）①如圖2，過F作FH⊥AB於H，∵點E是的中點，

∴∠BAE＝∠DAE

∵FD⊥AD，FH⊥AB

∴FH＝FD

∵＝sin∠ABD＝sin45°＝，

∴，即BF＝FD

∵AB＝4，

∴BD＝4cos45°＝2，即BF+FD＝2，（+1）FD＝2

∴FD＝＝4﹣2

故*為．

②連接OE，EH，∵點H是的中點，

∴OH⊥AE，

∵∠AEB＝90°

∴BE⊥AE

∴BE∥OH

∵四邊形OBEH為菱形，

∴BE＝OH＝OB＝AB

∴sin∠EAB＝＝

∴∠EAB＝30°．

故*為：30°

【點評】本題主要考查了圓的*質，垂徑定理，等腰直角三角形的*質，菱形的*質，解直角三角形，特殊角的三角函數值等，關鍵在靈活應用*質定理．

知識點：各地中考

題型：解答題