已知圓M:x2+(y-4)2=1,直線l:2x-y=0,點P在直線l上,過點P作圓M的切線PA,PB,切點分別...
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問題詳情:
已知圓M:x2+(y-4)2=1,直線l:2x-y=0,點P在直線l上,過點P作圓M的切線PA,PB,切點分別為A,B.
(1)若∠APB=60°,求P點的座標;
(2)若點P的座標為(1,2),過點P作一條直線與圓M交於C,D兩點,當|CD|=時,求直線CD的方程;
(3)求*:經過A,P,M三點的圓與圓M的公共弦必過定點,並求出此定點的座標.
【回答】
解:(1)由條件可知|PM|=2,設P點座標為(a,2a),則|PM|==2,解得a=2或a=,所以P(2,4)或P(,).
(2)由條件可知圓心到直線CD的距離d==,設直線CD的方程為y-2=k(x-1),則由點到直線的距離公式得=,解得k=-7或k=-1,
所以直線CD的方程為x+y-3=0或7x+y-9=0.
(3)*:設P(a,2a),過A,P,M三點的圓即以PM為直徑的圓,其方程為x(x-a)+(y-4)(y-2a)=0,整理得x2+y2-ax-4y-2ay+8a=0,與x2+(y-4)2-1=0相減得公共弦的方程為(4-2a)y-ax+8a-15=0,即(-x-2y+8)a+4y-15=0,
令解得所以兩圓的公共弦過定點.
知識點:圓與方程
題型:解答題
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