已知橢圓C：（a＞b＞0）過點A（0，3），與雙曲線有相同的焦點       （1）求橢圓C的方程；     ...

問題詳情：

已知橢圓C：（a＞b＞0）過點A（0，3），與雙曲線有相同的焦點       

（1）求橢圓C的方程；          

（2）過A點作兩條相互垂直的直線，分別交橢圓C於P，Q兩點，則PQ是否過定點？若是，求出定點的座標，若不是，請説明理由．       

【回答】

解：（1）雙曲線=1的焦點座標為（3，0），（﹣3，0），          

可得橢圓中的c=3，由橢圓過點A（0，3），可得b=3，        

則a==6，          

則橢圓的方程為+=1；          

（2）設P（x1，y1），Q（x2，y2），直線AP的斜率為k，直線AQ的斜率為﹣，        

直線AP的方程為y=kx+3，代入橢圓x2+4y2﹣36=0，          

可得（1+4k2）x2+24kx=0，        

解得x1=﹣，y1=kx1+3=，           

即有P（﹣，），         

將上式中的k換為﹣，可得Q（，），          

則直線PQ的斜率為kPQ==，           

直線PQ的方程為y﹣=（x+），           

可化為x（k2﹣1）﹣（5y+9）k=0，        

可令x=0，5y+9=0，即x=0，y=﹣．          

則PQ過定點（0，﹣）．       

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題