已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的焦距為2，且過點A（，）．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知l：y=kx-1，是...

問題詳情：

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的焦距為2，且過點A（，）． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）已知l：y=kx-1，是否存在k使得點A關於l的對稱點B（不同於點A）在橢圓C上？若存在求出此時直線l的方程，若不存在説明理由．

【回答】

解：（Ⅰ）橢圓C：+=1（a＞b＞0）的焦距為2，∴c=，則a2-b2=2…①， 橢圓過點A（，）．…②，解①②可得a2=3，b2=1，∴橢圓的方程： （Ⅱ）法1：當k=0時，直線l：y=-1，點不在橢圓上；

當k≠0時，可設直線，即2x+2ky-3-k=0 代入整理得（4k2+12）y2-4k（k+3）y+（k+3）2-12=0 因為，所以 若A，B關於直線l對稱， 則其中點在直線y=kx-1上，所以，解得k=1 因為此時點在直線l上，所以對稱點B與點A重合，不合題意 所以不存在k滿足條件． 法2：設AB：x=-ky+m，代入橢圓方程化簡得（k2+3）y2-2kmy+m2-3=0，，所以 若A，B關於直線l對稱，則其中點在直線y=kx-1上， 所以，即2km=k2+3．又在直線AB：x=-ky+m上， 所以2m-k=3，消m得（3+k）k=k2+3，所以k=1 ，因為此時點在直線l上， 所以對稱點B與點A重合，不合題意，所以不存在k滿足條件．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題